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電磁場のエネルギー(再)

電磁場のエネルギーについては以前にも書きましたが、
導出過程が分かりにくかったので、再度まとめておきます。
単位系は、HLを用います。

電磁場がローレンツ力を介して電荷に行う仕事率は、$P = q{\bf E}\cdot{\bf v}$ であるから、
これを連続分布で考えると、

\[
P = \int {\bf E}\cdot{\bf j} d^3x
\tag{1}
\]

と書ける。磁場は常に運動と直交する方向に力を与えるので仕事をしないことに注意。

マックスウェル方程式\[
{\bf j} = c\nabla\times{\bf H} - \frac{\partial {\bf D}}{\partial t}
\tag{2}
\]を代入して、\[
P = \int \left[
c {\bf E}\cdot(\nabla\times{\bf H}) - {\bf E}\cdot \frac{\partial {\bf D}}{\partial t}
\right] d^3x
\tag{3}
\]となる。

ここで、恒等式\[
{\bf E} \cdot (\nabla \times {\bf H}) = {\bf H} \cdot (\nabla \times {\bf E}) - \nabla \cdot ({\bf E} \times {\bf H})
\tag{4}
\]とそれに続いて、マックスウェル方程式\[
\nabla \times {\bf E} = -\frac{1}{c} \frac{\partial {\bf B}}{\partial t}
\tag{5}
\]を用いると、\[
P = \int \left[
- {\bf E}\cdot \frac{\partial {\bf D}}{\partial t}
- {\bf H}\cdot \frac{\partial {\bf B}}{\partial t}
- c\nabla \cdot ({\bf E} \times {\bf H})
\right] d^3x
\tag{6}
\]と書き換えられる。

媒質の応答が線形で、${\bf D} = \varepsilon {\bf E}$、${\bf B} = \mu{\bf H}$ なる関係で表せると仮定し、
また、第3項についてはガウスの定理を用いると、\[
P = -\frac{d}{dt} \int \frac{1}{2}({\bf E}\cdot{\bf D} + {\bf B}\cdot{\bf H}) d^3x
-\int_S c({\bf E} \times {\bf H}) \cdot d{\bf A}
\tag{7}
\]と書き直せる。

ここで、

\[
u = \frac{1}{2}({\bf E}\cdot{\bf D} + {\bf B}\cdot{\bf H})
\tag{8}
\]\[
{\bf S} = c ({\bf E} \times {\bf H})
\tag{9}
\]

なる量を定義すると、(7)は

\[
P = -\frac{d}{dt} \int u d^3x - \int_S {\bf S}\cdot d{\bf A}
\tag{10}
\]

と書き表され、
u は電磁場のエネルギー密度(単位体積あたり蓄積されたエネルギー)、
S はポインティングベクトル(単位面積あたり流出するエネルギーの流れ)
を表すことが分かる。

微分形のまま表記すると、

\[
{\bf E}\cdot{\bf j} = -\frac{\partial u}{\partial t} - \nabla \cdot {\bf S}
\tag{11}
\]

である。

MKSA単位系の場合は、マックスウェル方程式 (2) と (5) において、c が不要であるため、
ポインティングベクトルの c も不要である。

\[
u = \frac{1}{2}({\bf E}\cdot{\bf D} + {\bf B}\cdot{\bf H})
\tag{13}
\]\[
{\bf S} = {\bf E} \times {\bf H}
\tag{14}
\]



参考文献
[1] J.D.Jackson "Classical Electrodynamics"
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ジャンル:[学問・文化・芸術]  テーマ:[自然科学
物理>電磁気学 | コメント(0) | 2016/08/26 22:30
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