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電磁場の運動量

続いて、電磁場の運動量について。

運動量については、真空中で考えることにする。

当初、媒質中での式を導きたくて、D や H の勉強をしていたのですが、
運動量の場合は、媒質内部での電子一つ一つの微視的な運動がかかわってくるので、
平均化した巨視的な量で考えるのは少々、厄介なようです。
扱う方法がないわけではなさそうですが、わざわざ深入りしないことにします。

電磁場がローレンツ力を介して、電荷に与える運動量変化を考える。\[
\frac{d{\bf p}}{dt} = q\left({\bf E} + \frac{1}{c}{\bf v}\times{\bf B} \right)
\tag{1}
\]連続分布に拡張すると、\[
\frac{d{\bf p}}{dt} = \int \left(\rho {\bf E} + \frac{1}{c}{\bf j}\times{\bf B} \right) d^3x
\tag{2}
\]となる。マックスウェル方程式\[
\rho = \nabla\cdot{\bf E}
\tag{3}
\]\[
{\bf j} = c\nabla\times{\bf B} - \frac{\partial {\bf E}}{\partial t}
\tag{4}
\]を代入すると、\[
\frac{d{\bf p}}{dt} = \int \left[ {\bf E}(\nabla\cdot{\bf E})
- \frac{1}{c}\frac{\partial{\bf E}}{\partial t} \times {\bf B}
+ (\nabla\times{\bf B}) \times {\bf B}
\right] d^3x
\tag{5}
\]となる。ここで、\[
\frac{\partial {\bf E}}{\partial t}\times{\bf B}
= \frac{\partial}{\partial t} ({\bf E}\times{\bf B})
- {\bf E} \times \frac{\partial {\bf B}}{\partial t}
\tag{6}
\]であり、さらにマックスウェル方程式\[
\frac{1}{c}\frac{\partial{\bf B}}{\partial t} = -\nabla\times{\bf E}
\tag{7}
\]\[
\nabla\cdot{\bf B} = 0
\tag{8}
\]を利用すると、(5)は\[
\frac{d{\bf p}}{dt} = \int \left[
{\bf E}(\nabla\cdot{\bf E}) + {\bf B}(\nabla\cdot{\bf B})
- {\bf E} \times (\nabla\times {\bf E}) - {\bf B} \times (\nabla\times {\bf B})\\
-\frac{1}{c}\frac{\partial}{\partial t}({\bf E}\times{\bf B})
\right] d^3x
\tag{9}
\]という対称性の良い形に変形できる。

ここで、

\[
{\bf g} = \frac{1}{c}({\bf E}\times{\bf B})
\tag{10}
\]

と定義することにすると、\[
\frac{d{\bf p}}{dt} + \frac{d}{dt}\int {\bf g} d^3x \\
= \int \left[
{\bf E}(\nabla\cdot{\bf E}) + {\bf B}(\nabla\cdot{\bf B})
- {\bf E} \times (\nabla\times {\bf E}) - {\bf B} \times (\nabla\times {\bf B})
\right] d^3x
\tag{11}
\]と書ける。

右辺については、まず、${\bf E}(\nabla\cdot{\bf E})-{\bf E} \times (\nabla\times {\bf E})$ のx成分を考えると、\[
E_x (\partial_x E_x + \partial_y E_y + \partial_z E_z)
- E_y (\partial_x E_y - \partial_y E_x)
+ E_z (\partial_z E_x - \partial_x E_z) \\
= \partial_x(E_x^2) + \partial_y(E_xE_y) + \partial_z(E_xE_z)
-\frac{1}{2}\partial_x(E_x^2 + E_y^2 + E_z^2)
\tag{12}
\]と変形でき、一般に、α成分は\[
[{\bf E}(\nabla\cdot{\bf E})-{\bf E} \times (\nabla\times {\bf E})]_\alpha
= \sum_\beta \frac{\partial}{\partial x_\beta} \left( E_\alpha E_\beta -\frac{1}{2} {\bf E}^2 \delta_{\alpha\beta} \right)
\tag{13}
\]B についても同様であるから、(11)の右辺は、\[
\int \sum_\beta\frac{\partial}{\partial x_\beta} T_{\alpha\beta} d^3x
\tag{14}
\]と書ける。ただし、

\[
T_{\alpha\beta} = E_\alpha E_\beta + B_\alpha B_\beta - \frac{1}{2} ({\bf E}^2 + {\bf B}^2) \delta_{\alpha\beta}
\tag{15}
\]

と定義した。ガウスの定理を用いると、表面積分に書き換えられて、結局、(11) は

\[
\frac{d{\bf p}}{dt} + \frac{d}{dt}\int {\bf g} d^3x
= \int_S T_{\alpha\beta} n_\beta dA
\tag{16}
\]

と書ける(n は表面Sの外向き法線ベクトル)

g を電磁場の運動量密度
$T_{\alpha\beta}$ をマックスウェルの応力テンソルと呼ぶと、
この式は、マックスウェルの応力により、電磁場の運動量が変化することを表している。

電磁場の運動量は

\[
{\bf p}_{\rm em} = \int {\bf g} d^3x = \frac{1}{c} \int ({\bf E} \times {\bf B}) d^3x
\tag{17}
\]

と表される。

MKSA単位系では、以下となる。

\[
{\bf g} = \varepsilon_0 {\bf E} \times {\bf B}
= \frac{1}{c^2}({\bf E} \times {\bf H})
\tag{18}
\]\[
T_{\alpha\beta} = \varepsilon_0 \left( E_\alpha E_\beta - \frac{1}{2}{\bf E}^2 \delta_{\alpha\beta} \right)
+ \frac{1}{\mu_0} \left( B_\alpha B_\beta - \frac{1}{2}{\bf B}^2 \delta_{\alpha\beta} \right)
\]



参考文献
[1] J.D.Jackson "Classical Electrodynamics"
[2] 砂川重信 岩波物理テキストシリーズ「電磁気学」
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物理>電磁気学 | コメント(0) | 2017/01/06 13:17
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