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電磁場の量子化再論 (8) 光子のエネルギー

ハミルトニアンを生成消滅演算子で表す。

追記:論理展開がおかしかったので、大幅に修正しました(12/23)

以前の記事の\[
H = \sum_{k\alpha} 2|{\bf k}|^2 c^*_{k\alpha} c_{k\alpha}
\tag{1}
\]の導出で、$c$と$c^*$ を非可換と仮定すると、\[
H = \sum_{k\alpha} |{\bf k}|^2 (c^*_{k\alpha} c_{k\alpha} + c_{k\alpha} c^*_{k\alpha})
\tag{2}
\]となり、これに\[
c_{k\alpha} = c\sqrt{\hbar/2\omega} \times a_{k\alpha}
\tag{3}
\]を代入して、\[
H = \sum_{k\alpha} \frac{1}{2}\hbar\omega (a^\dagger_{k\alpha} a_{k\alpha} + a_{k\alpha} a^\dagger_{k\alpha})
\tag{4}
\]となる。この時、$\omega = c|{\bf k}|$を用いた。
$N_{k\alpha} = a^\dagger_{k\alpha} a_{k\alpha}$ と $[a_{k\alpha},a^\dagger_{k\alpha}] = \delta_{kk'} \delta_{\alpha\alpha'}$ を用いると、\[
H = \sum_{k\alpha} \hbar\omega \left(N_{k\alpha} + \frac{1}{2} \right)
\tag{5}
\]となる。
エネルギー原点は任意に取れるので、|0> の固有エネルギーをゼロになるように原点を取ると、
定数部分はなくなり、\[
H = \sum_{k\alpha} \hbar\omega N_{k\alpha}
\tag{6}
\]となる。
すなわち、(k,α)で指定されるモードに $\hbar\omega$のエネルギーを持つ光子が$n_{k\alpha}$個入っている
という描像で考えることができる。

参考文献
[1] J. J. Sakurai "Advanced Quantum Mechanics"
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ジャンル:[学問・文化・芸術]  テーマ:[自然科学
電磁場の量子化 | コメント(0) | 2018/12/16 12:36
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