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電磁場の量子化再論 (9) 生成消滅演算子の時間発展

ハミルトニアンを使って、生成消滅演算子の時間発展を調べる。

ハミルトニアンを用いると、生成消滅演算子の時間発展は\[
\dot{a}_{k\alpha} = \frac{1}{i\hbar}[a_{k\alpha}, H]
\tag{1.1}
\]\[
\dot{a}^\dagger_{k\alpha} = \frac{1}{i\hbar}[a^\dagger_{k\alpha}, H]
\tag{1.2}
\]と表せる。
ハミルトニアンは、\[
H = \sum_{k\alpha} \hbar\omega N_{k\alpha}
\tag{2}
\]であるから、\[
[a_{k\alpha}, N_{k'\alpha'}] = \delta_{kk'} \delta_{\alpha\alpha'} a_{k\alpha}
\tag{3.1}
\]\[
[a^\dagger_{k\alpha}, N_{k'\alpha'}] = -\delta_{kk'} \delta_{\alpha\alpha'} a^\dagger_{k\alpha}
\tag{3.2}
\]を用いると、以下の時間発展の方程式が得られる。\[
\dot{a}_{k\alpha} = -i\omega a_{k\alpha}
\tag{4.1}
\]\[
\dot{a}^\dagger_{k\alpha} = i\omega a^\dagger_{k\alpha}
\tag{4.2}
\]これを解くと、\[
a_{k\alpha}(t) = a_{k\alpha}(0) e^{-i\omega t}
\tag{5.1}
\]\[
a^\dagger_{k\alpha}(t) = a^\dagger_{k\alpha}(0) e^{i\omega t}
\tag{5.2}
\]となる。

参考文献
[1] J. J. Sakurai "Advanced Quantum Mechanics"
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ジャンル:[学問・文化・芸術]  テーマ:[自然科学
電磁場の量子化 | コメント(0) | 2018/12/16 18:08
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