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電磁場の量子化再論 (10) 電磁場の演算子による表示

電磁場を生成消滅演算子で表示する。

電磁場のフーリエ表示\[
{\bf A}({\bf x}, t) = V^{-1/2} \sum_{{\bf k}, \alpha} 
\epsilon_{k\alpha} \left[ c_{k\alpha}(t) e^{i{\bf k}\cdot{\bf x}}
+ c^*_{k\alpha}(t) e^{-i{\bf k}\cdot{\bf x}} \right]
\tag{1}
\]に生成消滅演算子の定義から得られる c と a の関係式\[
c_{k\alpha} = c\sqrt{\hbar/2\omega} \times a_{k\alpha}
\tag{2}
\]を代入すると、\[
{\bf A}({\bf x}, t) = V^{-1/2} \sum_{{\bf k}, \alpha} 
c\sqrt{\hbar/2\omega} \
\epsilon_{k\alpha} \left[ a_{k\alpha}(t) e^{i{\bf k}\cdot{\bf x}}
+ a^\dagger_{k\alpha}(t) e^{-i{\bf k}\cdot{\bf x}} \right]
\tag{3}
\]となる。
生成消滅演算子の時間発展\[
a_{k\alpha}(t) = a_{k\alpha}(0) e^{-i\omega t} \tag{4.1}
\]\[
a^\dagger_{k\alpha}(t) = a^\dagger_{k\alpha}(0) e^{i\omega t} \tag{4.2}
\]を代入すると、\[
{\bf A}({\bf x}, t) = V^{-1/2} \sum_{{\bf k}, \alpha}  c\sqrt{\hbar/2\omega} \ \epsilon_{k\alpha}
\left[ a_{k\alpha}(0) e^{i({\bf k}\cdot{\bf x}-\omega t)} + a^\dagger_{k\alpha}(0) e^{-i({\bf k}\cdot{\bf x}-\omega t)} \right]
\tag{5}
\]となる。

次に、${\bf E} = -(1/c)(\partial {\bf A}/\partial t)$ と ${\bf B} = \nabla\times{\bf A}$を求める。\[
{\bf E} = iV^{-1/2} \sum_{k\alpha} \sqrt{\hbar\omega/2} \ \epsilon_{k\alpha}
[a_{k\alpha}(0) e^{i({\bf k \cdot x} - \omega t)} - a^\dagger_{k\alpha}(0) e^{-i({\bf k \cdot x}-\omega t)} ]
\tag{6}
\]\[
{\bf B} = iV^{-1/2} \sum_{k\alpha} c\sqrt{\hbar/2\omega} \ ({\bf k}\times \epsilon_{k\alpha})
[a_{k\alpha}(0) e^{i({\bf k\cdot x}-\omega t)} - a^\dagger_{k\alpha}(0) e^{-i({\bf k\cdot x}-\omega t)} ]
\tag{7}
\]
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ジャンル:[学問・文化・芸術]  テーマ:[自然科学
電磁場の量子化 | コメント(0) | 2018/12/23 12:57
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