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フライングガーデンの謎

お正月に録画しておいた「相棒スペシャル」を見ていたら、
爆弾殺人の話だったのですが、
フライングガーデン(※)が登場していました。
※「爆弾ハンバーグ」が人気の北関東のファミレスチェーン。

なかなか、芸が細かいですね~

ところで、このフライングガーデン。
金券半額デーというのがあって、お得ですよね!
現金で支払った分の半額が次回以降使える金券として
戻ってくるシステム。

この金券半額デーに通い続けると、いったいどうなるんだろう?

・・・と以前から思っていました。

毎回 a 円のものを食べるとして、
還元率を r (この場合は、r = 1/2)、
n 回目に現金で支払った金額を an とすると、

n 回目に現金で支払う金額は、
n-1 回目に得た金券分を差し引いて、
\[
a_n = a - r a_{n-1}
\tag{1}
\]
となる。

この漸化式を \( a_0 = a \) の初期条件で解く。

特性方程式は、
\[
\alpha = a - r\alpha
\tag{2}
\]

(1)-(2)
\[
a_n - \alpha = -r ( a_{n-1} - \alpha ) \\
\cdots \\
= (-r)^n ( a_0 - \alpha ) \\
= (-r)^n ( a - \alpha)
\]

ゆえに、
\[
a_n = (-r)^n (a-\alpha) + \alpha
\]

(2)を解いて、
\[
\alpha = \frac{a}{1+r}
\]

\[
a_n = (-r)^n \frac{ra}{1+r} + \frac{a}{1+r} \\
= \frac{a}{1+r} \{ 1 - (-r)^{n+1} \}
\]

無限に通ったとすると、n→∞
\[
a_n \rightarrow \frac{a}{1+r}
\]

還元率 r = 1/2 を代入すると、
\[
a_n \rightarrow \frac{2}{3}a
\]

というわけで、最終的には、なんと、
毎回、33.333・・・% OFFで
食べられる状態になるようです!


・・・と、ここまで計算して、
よくよく考えてみると、当たり前のことでした。

2/3支払うと、その半額の1/3の金券がもらえます。
その金券で次回食べると、支払う金額は2/3。


これが永遠に繰り返されるわけですね!

恐るべし、フライングガーデン(笑)
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数学>高校+α | コメント(0) | 2011/02/03 22:48
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