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二択正誤問題の点数分布

以前にどこかのブログでちらっと拝見した話題で、

二択の正誤(○×)問題で0点を取るのは、100点を取るのと同じ難しさである!

というのがありました。

当然の話で、0点を取るのは、全問で確実に不正解をしなければならないわけで、
全部の正解が分かってないと、達成できないわけですよね。

確率的に正解するか間違えるかは半々だから、
50点が最も悪い成績で、20点を取った人の方が賢い
ということになります。

先日の虹コンの後のtsukupia☆メンバーでの打ち上げで、
その話題をしてみたところ、メンバーのある方から、

「0点が賢いのは分かるけど、20点が50点より賢いのは、なんか不思議!?」

というコメントをいただきました。

僕もなんとなく直感で50点が一番悪い成績だと思ったのですが、
そう言われると、ちゃんと説明できないなあ・・・と思って、
その後、少し考えてしまいました。

で、考えてみると、これって、単なる二項分布の問題なんですね!
(確率は苦手なので、ひょっとしたら考え違いをしているかもしれませんが・・・)

つまり、各問でデタラメに回答した場合、正解と不正解の確率は、それぞれ 1/2 ずつ。

N 問中、k 問正解する確率は、

P(k) = N C k ( 1/2 )k ( 1/2 )N-k

N C k は、N 個から k 個を取る組み合わせの数。

簡単のために、N = 100 とすると、ちょうど、k 問正解すると、k 点になるので、
その条件で計算してみると、点数分布はこんな感じに。

probability2choisesN100.jpg

グラフの見方ですが、
デタラメに回答した場合に、
偶然、50点になる確率が8%で、
偶然、20点になる確率が0.00000004%
という意味です。

この確率が低いほど、デタラメではなく、
ちゃんと理解して答えないと実現できない点と言うことになるので、
確率が低いほど、賢いわけです。

こうしてみると、明らかに、20点の方が成績がよいというのが一目瞭然ですね。

さらに、N=1000ぐらいにしてみたかったのですが、
このままでは、たぶん、計算桁数がオーバーフローしてしまうので、
中心極限定理で正規分布に近似して、計算しなければなりません。
その変換方法とか忘れてしまったので、やりませんが、
統計的に考えると、この50点のピークがどんどん鋭くなっていくと思われます。

なんか不思議なんですけど、問題数が多くなると、
ちゃんと理解してない人の点数は、みんな50点になっちゃうんですね(笑)

正誤ではなく、五択問題ぐらいになると、どうなるんだろう?と思って、やってみると、
今度は、正解の確率が 1/5、不正解の確率が 4/5 なので、

P(k) = N C k ( 1/5 )k ( 4/5 )N-k

probability5choisesN100.jpg

当然なのかもしれませんが、今度は、20点が一番成績が悪いことになりますね。
この場合でも、やはり、0点はそれなりに偉いんですね!(笑)

ということのようです、あるメンバーさん(笑)
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数学>高校+α | コメント(12) | 2012/06/05 23:49
コメント
この話題もなかなか興味深いですが・・・
あれ?肝心の虹コンレポは後回しですか?
>20点の方が成績がよいというのが一目瞭然ですね。
ここだけ読んで、息子は50点の子より頭がいいのか…と早とちりしたワタシです(ちがっ)。面談、気が重い…。
つまんない愚痴になるので帰ろ。
そうそう、虹コンレポ待ってますよん♪
娘が高校生の時、(○×)問題で学年最低点(たしか、10点代だったような・・)をとった事があります。
「(○×)問題でこんな点数を取る方が難しいのに・・・確率的にもありえない・・・私は天才かも・・・」とぶつぶつ言ってたのを思い出しました(笑)
タワシさんへ
>この話題もなかなか興味深いですが・・・
>あれ?肝心の虹コンレポは後回しですか?
あ、ちょっと時間がなくて・・・
もう少しお待ちください(汗)
その割には、こんな計算してんの?
というツッコミはなしの方向性でお願いします。
浮気の記事バージョンです!
メガネのワイシャツバージョンみたいな感じで(意味不明?笑)
トマトさんへ
>ここだけ読んで、息子は50点の子より頭がいいのか…と早とちりしたワタシです(ちがっ)。
ひょっとして、二択問題ではなかったですか?
今一度、息子さんに確認してみてくださいね(笑)
>面談、気が重い…。
>つまんない愚痴になるので帰ろ。
お子さん、伸びるタイプですよ、きっと!
理科と社会がそんなにできるならば、
ほんと伸ばしてあげたいですね。
やっぱり、「興味を持てる」というのは重要なファクターですよね。
僕も物理が好きという一芸で、今があるって感じですから(笑)
歴史も好きです・・・ご長男とタイプがあってるのかな?
とにかく、何も興味が持てないというのが一番厄介なので、
ちゃんとした指向性があるというのは素晴らしいなあと思います^^
・・・などと、偉そうなこと言ってすみません(汗)
>そうそう、虹コンレポ待ってますよん♪
週末になったら、書けるかなと思うのですが、
バドなどの予定がいっぱいだし、書けるかな?
ぴよのさんへ
>「(○×)問題でこんな点数を取る方が難しいのに・・・確率的にもありえない・・・私は天才かも・・・」とぶつぶつ言ってたのを思い出しました(笑)
おお、そうでしたか!
10点は、すごいことですよ!
その理解を逆に修正すると、90点取れる可能性があるってことですよね。
50点よりは、だいぶ見込みがあるんじゃないかな(笑)
うーん?
確率ってややこしいのね?ということは、わかりました 笑
5択問題で8割取ってた私は2割と同じ確率だったのん?つまり・・・チーン
あるメンバーさんへ
>5択問題で8割取ってた私は2割と同じ確率だったのん?つまり・・・チーン
いえいえ、80点=20点になるのは、2択問題の場合で、
5択問題の場合は、80点は・・・
マイナス40点と同じ確率です(下側のグラフ参照)
チーン(笑)
アメリカのSAT試験(大学入試試験)ではでたらめに点数を稼ぐ事を防ぐ為に間違いの答えにマイナス点を与えています。
例えば4択の場合正確の答に3点間違いの答にそれぞれ-1点を与えています、すると統計的にでたらめに答を出すと0点となります。
(この採点方は以前使われていました、いまだに使われているか分かりません。)
渡さんへ
>例えば4択の場合正確の答に3点間違いの答にそれぞれ-1点を与えています、すると統計的にでたらめに答を出すと0点となります。
なるほど~賢い方法があるもんですね!!!
確かに、たとえば2択問題で40点以下が赤点とかだったら、
ヤマ勘だけで解いた人がクリアしてしまいますもんね。
0点にしないといけないですよね。
追伸
この採点方ですと知識の有る人は3点全く知識の無い人は0点そして間違った知識の有る人は-1点となり“20点が50点より賢い”という矛盾も無くなると思います(4択の場合そして無回答は0点)。
そして面白いのは間違った知識の点数が全く知識の無い点数より低い事です。
以上の事を考えるとこの採点方は正しい知識の有無を正確に把握していると思います。
渡さんへ
>“20点が50点より賢い”という矛盾も無くなると思います
ここのところがよくわからないのですが、
この方法は、4択の場合、普通の採点方法の場合のピークを
25点から0点にシフトしただけのように思えますので、
この矛盾は解消されていない気がします。
>そして面白いのは間違った知識の点数が全く知識の無い点数より低い事です。
で、おっしゃっている「間違った知識の点数」というのが”20点”(2択の場合)に相当して、
「全く知識のない点数」というのが”50点”に相当するわけなので、
点数の大小関係は旧方式でも新方式でも同じではないかと思います。
むしろ、そもそも、僕の記事の“20点が50点より賢い”
という表現が間違ってるんですね(汗)
20点の方が確率が低いだけで、間違った知識なわけですから(笑)
もう少しちゃんと考えてみます^^;

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