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iのi乗

追記 (2015/2/25)
ご指摘をいただき、この記事の内容は間違っていることが判明しました。
複素数では一般に指数法則が成立しないため、下記証明は成立しません。
正しくは、定義に基づいて、log を使って表し、
主値を取るという手続きを経由しなければならないようです。
詳細は、この記事のコメント欄をご参照ください。


i の i 乗って、計算できますか?
(ここでいう i は、2乗したら -1 になる虚数単位の i のことです)

そもそも、i じたい訳のわからない数なのに、
それを i 回かけるって、意味分からない!


って感じですよね(笑)

まずは、天下のGoogle様にやっていただくことにしましょう。

Google画面で、「i^i」 と入力して、検索ボタンを押してみます。
(「^」の記号は、「○乗」の意味で、右肩の小さい数字が書けない環境で使う記号です)

すると、Google様は、ちゃんと計算して、答を出してくれるんですよ。

i^i = 0.207879576

驚くべきことに、虚数の虚数乗なのに、答えはなんと、実数!

これを自分で計算してみましょう。
実は、以前から記事にしているオイラーの公式

e ix = cos x + i sin x

を使うと、簡単にできます。

ここで、x = π/2 を代入すると、

cos (π/2) = 0
sin (π/2) = 1


なので、

e πi/2 = i

という関係が得られます。

これを用いると、

i i = [ e πi/2 ] i = e πi/2 × i = e -π/2

ここで、指数法則 [ e a ] b = e ab と、i2 = -1 を使いました。

というわけで、答は、

i i = e -π/2

となり、見事に i が消えてしまって、実数になるんですね!

これ以降は、電卓を使わないと計算しようがないんですが、
0.207879576という値になることが確認できます。
(気になる方は、Google画面で、「e^(-pi/2)」と打ち込んでみてください)

このように、オイラーの公式は、複素数の計算や理論で絶大な威力を発揮してくれます。
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数学>高校+α | コメント(9) | 2012/06/19 00:26
コメント
i^i(胃の愛情)って、計算はできないんですけど何時もお世話になっています、暴飲暴食には気を付けましょう。
渡さんへ
>i^i(胃の愛情)って、計算はできないんですけど何時もお世話になっています、暴飲暴食には気を付けましょう。
あ、「胃の愛情」は、僕もよくお世話になってます(笑)
最近は、食べ放題なども程々にして、胃をいたわるようにしてますよ^^
ほら~、虚実の世界を行き来するこの感覚が「騙された」感じでヤなんですよね~(-"-)。詐欺師っぽい…。でも数学が好きな人はここにロマンを感じちゃうのかな?
「そもそも、i じたい訳のわからない数なのに、それを i 回かけるって、意味分からない!」←これに尽きます!実数が出てくるんなら、実は虚数って実数なんじゃないの?意味わからん。こら~っ、責任者出て来い!!
トマトさんへ
たとえ、数学嫌いの方であっても、
こうやって、数学記事にコメントいただけると嬉しいですね^^
>ほら~、虚実の世界を行き来するこの感覚が「騙された」感じでヤなんですよね~(-"-)。詐欺師っぽい…。でも数学が好きな人はここにロマンを感じちゃうのかな?
やっぱり、詐欺師っぽく感じちゃうのかな?
実数が先にあって、それに虚数などというわけのわからないものを
付け加えると考えてしまうので、詐欺っぽく感じるんでしょうね(笑)
数というのは本来、「実数+虚数」のいわゆる「複素数」の形式で表して初めて、
完全の形になって、とても美しい法則性が現れるんですよ。
(なんか、この言い方やっぱり、詐欺師っぽい!?笑)
実数しか見てないのは、たとえて言うと、氷山の一角しか見ていないということで、
だからこそ、実数だけ考えてると、水面下の部分が見えないので、
余計に複雑に見えるんです!
物理の世界でも、量子力学では、
そもそも虚数がないと成立しえない学問で、
この量子力学がないと、現代の科学文明はありえないのわけで・・・
たとえば、半導体なんてものが理解できなくなるので、
パソコンなど電子機器がすべて、ありえなくなります。。。
でも、一般的な大多数の人からみると、虚数なんて何の役に立つの!?
と思ってしまうのも、非常によくわかります。
また、記事にしますね(笑)
No title
この証明は本当に正しいですか?

指数が複素数のとき、指数法則 a^(bc) = (a^b)^c は必ずしも成立しないことを考えれば、結論はあっていても証明としては誤りだと思います。

http://mathtrain.jp/ipoweri

誤植?
この証明は本当に正しいですか?

指数が複素数のとき、指数法則 a^(bc) = (a^b)^c は必ずしも成立しないことを考えれば、結論はあっていても証明としては誤りだと思います。

http://mathtrain.jp/ipoweri

No title
こちらのURLもご参考下さい。ご返信お待ちしております。

http://indoctus.hateblo.jp/entry/2015/02/24/160210
No title
こちらのURLもご参考下さい。ご返信お待ちしております。

数学王に俺はなるさんへ
コメントいただき、ありがとうございます。

なるほど、間違っていますね。
分かりやすいと思っていたら、指数法則は使えないのですね。

後ほど、加筆修正しておきます。
ご指摘、ありがとうございました。

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