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99次方程式~解答編 (1)

先日の99次方程式の問題の解答編。

大学レベルの数学を使って、さらっと書いて終わりにしようと思ってたのですが、
一応、分かりやすく!というリクエストがあったので、丁寧に書いてみます(笑)

問題

次の99次方程式を解け!(笑)

x99 + x98 + x97 + ・・・ + x2 + x + 1 = 0

複素数の範囲で解をすべて見つけてください。



まず、左辺の部分が等比数列の和に見えてくるでしょうか?

つまり、1をx倍すると、xになり、さらにx倍すると、x2になり・・・
というように、初項1、公比xの等比数列になっていますよね。

ということで、高校で習った等比数列の和の公式が使えるってわけです。
・・・と、公式を使っちゃってもいいのですが、
それでは、覚えてない人はガッカリでやる気を失うと思うので、
公式を使わずにやりたいと思います。

左辺の部分をSとします。
S = x99 + x98 + x97 + ・・・ + x2 + x + 1

この両辺にxをかけると、
xS = x100 + x99 + x98 + ・・・ + x3 + x2 + x

そして、下の式から上の式を引いてやると、
間にある同じ項がすべて消えてくれて、
(x - 1) S = x100 - 1
となります。

ここで、xが1でなければ、両辺をx-1で割ることができるので、
まずは、xが1でないことを確かめておきます。

問題の式に戻って、x=1を代入してみると、
左辺は、1+1+1+・・・+1+1=100 となり、
右辺は0ですから、方程式が成立しません。

つまり、xは1ではない(x=1が解ではない)ことが分かります。
このことは、あとでも使うので、覚えておいてください。

というわけで、x≠1が確認できたので、x-1で割ってやると、
Sの式が求まります。
S = (x100 - 1) / (x - 1)
これぞ、等比数列の和の公式ですね!

これを元の方程式に戻してみると、
(x100 - 1) / (x - 1) = 0
となります。

これが満たされるのは、分子=0の時、すなわち、
x100 - 1 = 0
つまり、
x100 = 1
となるときです。

つまり、xは100乗して1になる数、すなわち、1の100乗根ということになります!

ただし、1自身も100乗して1になるので、1の100乗根の一つですが、
上で「xは1ではない」という確認をしたので、1だけは取り除かれます。

というわけで、
x = 1 1/100 (ただし、x=1を除く)

となります。

通常、n乗根は複素数の範囲でn個存在するので、1の100乗根は100個あります。
x=1を除くので、全部で99個あることになりますね。
99次方程式なので、99個すべて出そろったということになります。

これが答え!
と言ってしまってもいいと思うのですが、
これだとどんな数だかさっぱりイメージわかないと思うので、
次回記事で、もう少し分かりやすい表現に変えていきたいと思います(笑)

ここからは、大学レベルの数学を少しだけ使います。
と言っても、複素関数論の教科書の初めの数ページに書かれているような内容なので、
そんなに難しいわけではないのですが・・・
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数学>高校+α | コメント(2) | 2012/09/20 23:51
コメント
dyneさんて、本当に説明がお上手ですね!!
私のようなアホでも、順を追って読んでみたらなんとなく分かりました!驚
ただ、このあたりまではまだ数学理解できてたんですが(今は忘れてるけど説明してもらえば何となく分かる)、この先ベクトルのところで完全に落ちこぼれたので(未だに全く分からない)、数学コンプレックスひどいですよ~
数学がすっきり理解できたら、楽しいでしょうね。
Sleepingさんへ
>dyneさんて、本当に説明がお上手ですね!!
ありがとうございます!
>私のようなアホでも、順を追って読んでみたらなんとなく分かりました!驚
いやいや、それは、Sleepingさんがアホじゃないってことですよ!
>ただ、このあたりまではまだ数学理解できてたんですが(今は忘れてるけど説明してもらえば何となく分かる)、この先ベクトルのところで完全に落ちこぼれたので(未だに全く分からない)、数学コンプレックスひどいですよ~
ベクトルで分からなくなってしまう人って、なぜか結構多いんですよね。
僕は、実はベクトルが一番簡単だったんですが・・・笑
>数学がすっきり理解できたら、楽しいでしょうね。
たぶん、多くの人は理解できないから、楽しくないんでしょうね。
といっても、大学レベルの数学になると、なかなか
すっきりとは理解できないんですけど(笑)
最近、日本人数学者が証明したといって話題の「ABC予想」の論文が
ネットで見れるらしいんですけど、物理マニアの集まる掲示板で皆さん、
宇宙語で書かれてあって、一行たりとも理解できなかったって
書いてましたね(汗)
難しい数学は、ほんと難しいみたいです・・・^^;

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