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リーマンのゼータ関数 (2)

件の積分
\[
I = \int_0^\infty \frac{x^3}{e^x -1} dx = \frac{\pi^4}{15}
\]
の証明ですが、いろいろネットで探しているうちに、
数学的厳密性にこだわなければ、わりと簡単に理解できるものだったので、
何回かに分けて証明しておきます。

まず、$1 / (e^x - 1)$ の分母分子に $e^{-x}$ を乗じると、
$x > 0$ では、$|e^{-x}| < 1$ だから、

\[
\begin{array}{l}
\frac{1}{e^x-1} \\
= \frac{e^{-x}}{1-e^{-x}} \\
= e^{-x} + e^{-2x} + e^{-3x} + \cdots \\
= \sum_{n=1}^\infty e^{-nx}
\end{array}
\]
という無限等比級数に変形できるので、
\[
I = \sum_{n=1}^\infty \int_0^\infty x^3 e^{-nx} dx
\]
となります。

ここで、Σと∫の順序を入れ替えて、項別積分するためには、
ほんとは、一様収束性を確認しなければなりませんが、
数学的厳密性にはこだわらないってことで、省略^^;

次に、積分の部分の計算をしたいのですが、
一般的に、
\[
I_{n,k} = \int_0^\infty x^k e^{-nx} dx
\]
の値を求めておくことにします。
部分積分を使う方法です。

\[
\begin{array}{lll}
I_{n,k} &=& \int_0^\infty x^k e^{-nx} dx \\
&=& -\frac{1}{n} \int_0^\infty x^k \frac{d}{dx} e^{-nx} dx \\
&=& -\frac{1}{n} [x^k e^{-nx} ]_0^\infty
+ \frac{k}{n} \int_0^\infty x^{k-1} e^{-nx} dx \\
&=& \frac{k}{n} I_{n,k-1}
\end{array}
\]

同様に、部分積分を繰り返して、
\[
I_{n,k} = \frac{k!}{n^k} I_{n,0}
\]

ここで、
\[
I_{n,0} = \int_0^\infty e^{-nx} dx = \frac{1}{n}
\]
であるから、
\[
I_{n,k} = \frac{k!}{n^{k+1}}
\]

求めたい積分にこの式を用いると、
\[
I = \sum_{n=1}^\infty I_{n,3} = 6\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^4} = 6\zeta(4)
\]
となり、リーマンのゼータ関数が登場するわけです!

このゼータ関数の特殊値ζ(4)は、
\[
\zeta(4) = \frac{\pi^4}{90}
\]
となることをオイラーが証明していて、それを用いると、
\[
I = \frac{\pi^4}{15}
\]
となり、証明終了!

次回は、このオイラーの証明について、見ていきます。
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数学>特殊関数・直交多項式 | コメント(0) | 2011/05/19 18:24
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