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リーマンのゼータ関数 (4)

もう書くの飽きてきたのですが、
一応、ζ(4)の証明が当初の目的だったので、
最後まで責任持って書いておきます(笑)

\[
\zeta(4) = 1 + \frac{1}{2^4} + \frac{1}{3^4} + \frac{1}{4^4} + \cdots = \frac{\pi^4}{90}
\]
を証明します。

前回記事での sin x の2通りの級数展開
\[
\sin x = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \cdots
\tag{1}
\]
\[
\sin x = x \left\{1-\frac{x^2}{\pi^2}\right\} \left\{1-\frac{x^2}{(2\pi)^2}\right\} \cdots
\left\{1-\frac{x^2}{(n\pi)^2}\right\} \cdots
\tag{2}
\]
において、今度は、5次の係数を比較します。

(1)の係数は、簡単で 1/5! = 1/120

問題は、(2)の係数で、今回はちょっと複雑。
x5になるようにするには、x2の部分を2つ取る組み合わせを
考えなければなりません。

そうすると、係数は、
\[
\sum_{m>n} \frac{1}{m^2n^2\pi^4}
\]

となります。 これらが等しいのだから、
\[
\sum_{m>n} \frac{1}{m^2n^2} = \frac{\pi^4}{120}
\tag{3}
\]
ということがまずわかります。

ここで、すべてのm,nについて和を取ったもの
\[
\sum_m \sum_n \frac{1}{m^2n^2}
\]
を考えると、
\[
\sum_m \sum_n = \sum_{m=n} + \sum_{m>n} + \sum_{m < n}
\tag{4}
\]
と分けることができて、

\[
\sum_{m=n} \frac{1}{m^2n^2} = \sum_n \frac{1}{n^4} = \zeta(4)
\]
\[
\sum_{m < n} \frac{1}{m^2n^2} = \sum_{m > n} \frac{1}{m^2n^2} = \frac{\pi^4}{120}
\]
だから、(4)式は、
\[
\sum_m \sum_n \frac{1}{m^2n^2} = \zeta(4) + 2\times \frac{\pi^4}{120}
\tag{5}
\]
となります。

一方、この式の左辺は、
\[
\sum_m \sum_n \frac{1}{m^2n^2} =
\left( \sum_m \frac{1}{m^2} \right)
\left( \sum_n \frac{1}{n^2} \right)
= \zeta(2)^2
= \frac{\pi^4}{36}
\tag{6}
\]
と計算できます。

ζ(2)の値は、前回記事で証明済の値を用いました。

最後に、(5)と(6)を等しいとおいて、
\[
\zeta(4) = \frac{\pi^4}{36} - \frac{\pi^4}{60} = \frac{\pi^4}{90}
\]
となり、めでたく証明終了!
これで、ゼータ関数の記事は終わりです。

参考にしたサイト
http://homepage3.nifty.com/aya_js/math/math01.htm
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数学>特殊関数・直交多項式 | コメント(0) | 2011/05/31 19:13
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