テンソルの縮約

テンソルについて、もう一つ押さえておきたいのが、縮約について。

上付きの添え字と下付きの添え字が同じになる成分の和を取ると、
その２つの添え字を消したテンソルと同じになる！

たとえば、A^μν_λρというような４階の混合テンソルがあったとして、

μとλが同じになる成分の和を取ると・・・

A^μν_μρ＝A^ν_ρ

というように、２階の混合テンソルとして扱える。
（μについて、和を取ることに注意！）

これは、すごく便利！

テンソルの変換則で確かめてみます。

もともとの４階テンソルの変換則は・・・
A’^μν_λρ ＝ a^μ_i a^ν_j a_λ^k a_ρ^l A^ij_kl

ブログで、あの偏微分記号を書くのは、分かりにくくてしかたがないので、
内山先生の教科書でローレンツ変換の係数に使っている記法を使いました。

a^μ_i ≡ ∂x^μ'/∂xⁱ
a_μⁱ ≡ ∂xⁱ/∂x^μ'
（これらはテンソルではない）

λ＝μにして和を取ると、

A’^μν_μρ ＝ a^μ_i a^ν_j a_μ^k a_ρ^l A^ij_kl

ここで、μのついているこの２つの係数だけを抜き出してみると、
a^μ_i a_μ^k ＝ δ^k_i

となっていることが、偏微分表示に戻して計算してみるとすぐにわかる。
（偏微分書くのが面倒だから書かないけど・・・）

すると、
A’^μν_μρ ＝ δ^k_i a^ν_j a_ρ^l A^ij_kl

となり、
A’^μν_μρ ＝ a^ν_j a_ρ^l A^ij_il

となる。
この式は、下のような２階のテンソルの変換則と同等とみなせる。
A’^ν_ρ ＝ a^ν_j a_ρ^l A^j_l

というわけで、縮約できることが示せました。

テンソルの積は、こんな感じで、やはりテンソルになることはすぐにわかるので、
C^μ_νλ ≡ A^μ_ν B_λ

縮約を使って、ベクトルのスカラー積を定義できる。
C ≡ A^μ A_μ