テンソルの縮約
テンソルについて、もう一つ押さえておきたいのが、縮約について。
上付きの添え字と下付きの添え字が同じになる成分の和を取ると、
その2つの添え字を消したテンソルと同じになる!
たとえば、Aμνλρというような4階の混合テンソルがあったとして、
μとλが同じになる成分の和を取ると・・・
Aμνμρ=Aνρ
というように、2階の混合テンソルとして扱える。
(μについて、和を取ることに注意!)
これは、すごく便利!
テンソルの変換則で確かめてみます。
もともとの4階テンソルの変換則は・・・
A’μνλρ = aμi aνj aλk aρl Aijkl
ブログで、あの偏微分記号を書くのは、分かりにくくてしかたがないので、
内山先生の教科書でローレンツ変換の係数に使っている記法を使いました。
aμi ≡ ∂xμ'/∂xi
aμi ≡ ∂xi/∂xμ'
(これらはテンソルではない)
λ=μにして和を取ると、
A’μνμρ = aμi aνj aμk aρl Aijkl
ここで、μのついているこの2つの係数だけを抜き出してみると、
aμi aμk = δki
となっていることが、偏微分表示に戻して計算してみるとすぐにわかる。
(偏微分書くのが面倒だから書かないけど・・・)
すると、
A’μνμρ = δki aνj aρl Aijkl
となり、
A’μνμρ = aνj aρl Aijil
となる。
この式は、下のような2階のテンソルの変換則と同等とみなせる。
A’νρ = aνj aρl Ajl
というわけで、縮約できることが示せました。
テンソルの積は、こんな感じで、やはりテンソルになることはすぐにわかるので、
Cμνλ ≡ Aμν Bλ
縮約を使って、ベクトルのスカラー積を定義できる。
C ≡ Aμ Aμ
上付きの添え字と下付きの添え字が同じになる成分の和を取ると、
その2つの添え字を消したテンソルと同じになる!
たとえば、Aμνλρというような4階の混合テンソルがあったとして、
μとλが同じになる成分の和を取ると・・・
Aμνμρ=Aνρ
というように、2階の混合テンソルとして扱える。
(μについて、和を取ることに注意!)
これは、すごく便利!
テンソルの変換則で確かめてみます。
もともとの4階テンソルの変換則は・・・
A’μνλρ = aμi aνj aλk aρl Aijkl
ブログで、あの偏微分記号を書くのは、分かりにくくてしかたがないので、
内山先生の教科書でローレンツ変換の係数に使っている記法を使いました。
aμi ≡ ∂xμ'/∂xi
aμi ≡ ∂xi/∂xμ'
(これらはテンソルではない)
λ=μにして和を取ると、
A’μνμρ = aμi aνj aμk aρl Aijkl
ここで、μのついているこの2つの係数だけを抜き出してみると、
aμi aμk = δki
となっていることが、偏微分表示に戻して計算してみるとすぐにわかる。
(偏微分書くのが面倒だから書かないけど・・・)
すると、
A’μνμρ = δki aνj aρl Aijkl
となり、
A’μνμρ = aνj aρl Aijil
となる。
この式は、下のような2階のテンソルの変換則と同等とみなせる。
A’νρ = aνj aρl Ajl
というわけで、縮約できることが示せました。
テンソルの積は、こんな感じで、やはりテンソルになることはすぐにわかるので、
Cμνλ ≡ Aμν Bλ
縮約を使って、ベクトルのスカラー積を定義できる。
C ≡ Aμ Aμ
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