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一階偏微分方程式

仕事で、簡単な一階偏微分方程式を解かなくてはいけなくて、
特性曲線を使って解く方法を復習しています。

簡単な例。
\[
u_t + cu_x = 0
\]
を満たす u(x,t) を求める。

(x, t) 平面上に
\[
x = x(t)
\]
で表される特性曲線Γなるものを考えて、
その曲線Γ上での u の変化を考える。

曲線Γ上に限ると、t を dt だけ変化させると、
x の変化 dx も自動的に次のように決まる。
\[
dx = \frac{dx}{dt}dt
\]

その時の u の変化 du は、
\[
du = u_x dx + u_t dt
= \left[ u_x \frac{dx}{dt} + u_t \right] dt
\]
ここで、特性曲線Γを
\[
\frac{dx}{dt} = c
\]
を満たすように決めると、
元の偏微分方程式より、[・・・] = 0 になって、
\[
du= 0
\]
つまり、u は、特性曲線Γ上では、定数となる。

特性曲線の式は、
\[
\frac{dx}{dt} = c
\]
から、
\[
x - ct = \xi ({\rm const.})
\]
と表されるので、u(x,t) の一般解は、
\[
u(x,t) = f(\xi) = f(x-ct)
\]
となる。

ここで、f (ξ)は、任意の関数。

もし、係数 c が c(u) のようにuに依存した関数になっていた場合、
すなわち、
\[
u_t + c(u) u_x = 0
\]
といったような場合でも、まったく同じ論理が使えて、
結局、特性曲線上では u が一定になるので、
c(u)も定数になって、
特性曲線は、
\[
x - c(u) t = \xi ({\rm const.})
\]
という直線になり、一般解は、
\[
u(x,t) = f(x - c(u)t)
\]
と表せる。
ただし、陰関数表示になっているので、
陽的な表示が欲しい場合は、ここから、u について解かなければならない。
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数学>微分方程式 | コメント(0) | 2012/05/15 00:08
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