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デルタ関数の公式 (1)

怒涛の更新ですね!(笑)

先ほどの静電場の記事で使用したデルタ関数の公式をさっそく証明しておきます。

\[
\nabla^2 \frac{1}{r} - -4\pi \delta({\bf r})
\]

証明と言っても、超関数なので、数学的に厳密な証明は僕には無理なので(汗)、
物理を理解する上で納得できる程度の証明という意味で・・・

原点以外(r≠0)では、左辺が 0 になる。

原点を中心とする任意の球体内で左辺を積分すると、-4π になる。

の2つを示したいと思います。

証明

これを示すには、ラプラシアンの球座標表示を使うと便利。
r のみに依存するので、rに関する微分の項のみを用いて、

\[
\nabla^2\frac{1}{r} = -\frac{1}{r^2} \frac{\partial}{\partial r}
\left[ r^2 \frac{\partial}{\partial r} \frac{1}{r} \right]
= 0
\]

半径 R の球体 VR(表面:SR)で積分する。

\[
\int_{V_R} \nabla^2 \frac{1}{r} d{\bf r} = \int_{V_R} \nabla\cdot\nabla \frac{1}{r} d{\bf r}
\]

ガウスの定理を用いて、体積積分を表面積分に変換し、
\[
\nabla \frac{1}{r} = -\frac{\bf r}{r^3}
\]
を用いると、

\[
\int_{V_R} \nabla^2 \frac{1}{r} d{\bf r}
= \int_{S_R} \nabla \frac{1}{r} d{\bf S}
= - \int_{S_R} \frac{\bf r}{r^3}\cdot d{\bf S}
= -\frac{4\pi R^2}{R^2}
= -4\pi
\]

以上で、証明終了。
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数学>公式 | コメント(0) | 2012/12/06 00:57
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