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固有値と対角化

行列の固有値と対角化について、思い出し中。

確か、高校の教科書には載ってなかったと思いますが、
大学受験では、なにげに、行列のn乗を求めるときの必須テクでしたよね!
(確か、高校の授業でも教わりました)

実際には、n乗を求めるのがそんなに重要なのかどうかは知りませんが、
(行列の級数の収束性とか考えるのには必要か・・・)
固有値と対角化自体は、量子力学では超重要な概念なのです!

というわけで、頭の整理。
線形代数の本を一から読んでいると、それはそれで面白いんだけど、
それだといつまでも物理に入れないので、
最低限の知識で雰囲気だけでもつかみたいってことで・・・(笑)

n次正方行列 A に対して、ある複素数λと複素ベクトルpが存在して、
\[
A{\bf p} = \lambda {\bf p}
\]
と表せるとき、λをAの固有値、pをそれに対する固有ベクトルという。

\[
(A - \lambda E){\bf p} = 0
\]
で、p≠0の解をもつためには、
\[
{\rm det}(A-\lambda E) = 0
\]
となり、これは、λのn次方程式になるので、代数学の基本定理より、
解は複素数として、重根を含んで、n個ある。
これらの解を λi、pi ( i = 1, ... , n ) とする。

重根(つまり縮退)がある場合は、pi はすべて線形独立とは限らないが、
n個ともすべて線形独立である場合のみを考えることにする。

線形独立なn個の pi を列ベクトルとして並べて、行列 P を作る。
\[
P = ({\bf p}_1, {\bf p}_2, \cdots, {\bf p}_n )
\]

\[
\begin{array}{lll}
AP &=& (A{\bf p}_1, A{\bf p}_2, \cdots, A{\bf p}_n ) \\
&=& (\lambda_1{\bf p}_1, \lambda_2{\bf p}_2, \cdots, \lambda_n{\bf p}_2 ) \\
&=& PD
\end{array}
\]

ただし、
\[
D =
\left[
\begin{array}{cccc}
\lambda_1 & & & 0 \\
& \lambda_2 & & \\
& & \cdots & \\
0 & & & \lambda_n
\end{array}
\right]
\]
は、λ1, ... , λnを対角要素にもつ対角行列を表すとする。

ゆえに、
\[
AP = PD
\]

pi がすべて線形独立という仮定から、Pは正則、P-1が存在し、
\[
P^{-1}AP = D
\]
という操作でAが対角化できることになる。

対角化した対角行列の対角要素は固有値となり、
対角化するための正則行列の列ベクトルは固有ベクトルとなる。


次回は、量子力学で重要となる
エルミート行列のユニタリ変換による対角化について、
整理してみます。
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数学>線形代数 | コメント(0) | 2011/04/13 22:18
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