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カテゴリ:数学>微分方程式 の記事一覧

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微分方程式の級数解法 (1)

球対称ポテンシャル問題の微分方程式を解くのに、
ここで、微分方程式の級数解法を見ておこうと思います。

まずは、最も簡単な例で考えてみようと思います。
特にテキストは使わず、我流で進めます。
\[
y' = y
\tag{1}
\]
簡単すぎる例であるが、これぐらいで、やってることをまず理解したい。
普通に解くと、一般解は、\[
y = c e^x
\tag{2}
\]となる。
級数解法では、解を級数でおいてみる。
\[
y = \sum_{n=0}^\infty a_n x^n
\tag{3}
\]
ここで、$a_0 \neq 0$ として、
\[
y = x^s \sum_{n=0}^\infty a_n x^n
\tag{4}
\]のように置いて、最低次(s次)の係数を$a_0$ とする流儀もあるが、
ここでは、初めの係数がゼロであることを許して、(3)の置き方を採用する。

(3) を微分すると、\[
y' = \sum_{n=1}^\infty n a_n x^{n-1}
\tag{5}
\]
微分方程式 (1) に代入して、\[
\sum_{n=1}^\infty n a_n x^{n-1} = \sum_{n=0}^\infty a_n x^n
\tag{6}
\]左辺のべきを右辺にそろえて、\[
\sum_{n=0}^\infty (n+1) a_{n+1} x^n = \sum_{n=0}^\infty a_n x^n
\tag{6}
\]とすれば、両辺の係数は等しくなければならない。
\[
(n+1) a_{n+1} = a_n
\tag{7}
\]これより、
\[
a_{n+1} = \frac{a_n}{n+1}
\tag{8}
\]という漸化式が得られ、$a_0 = c$ とすると、
\[
a_n = \frac{c}{n!}
\tag{9}
\]となる。これを (3) 式に代入すると、
\[
y = c \sum_{n=0} \frac{x^n}{n!} = ce^x
\tag{10}
\]となり、めでたく (2) と同じ結果が得られた。

まあ、当たり前の結果のような感じでしたが、流れはつかめました。
同じように、いくつか例を見ていこうと思います。
ジャンル:[学問・文化・芸術]  テーマ:[数学
数学>微分方程式 | コメント(0) | 2014/09/22 13:03

微分方程式

今年は、偏微分方程式の勉強もしたいと年初に書きましたね。

その思いはあるのですが、
仕事で読んでいる論文でこんな連立微分方程式が出てきました。

\[
\frac{df(x)}{dx} + f(x)g(x) = 0
\tag{1.1}
\]\[
\frac{dg(x)}{dx} + g(x)^2 = 2f(x)^3
\tag{1.2}
\]

解くと、
\[
2x = \frac{\sqrt{1-f(x)}}{f(x)}
+ \ln \left( \frac{1+\sqrt{1-f(x)}}{\sqrt{f(x)}} \right)
\tag{2}
\]
となると書かれているんですが、
どうやったらこんな風に解けるんでしょうか?

偏微分方程式どころか常微分方程式なのですが、
さっぱり解き方が分かりません(汗)

その論文は、光ファイバ内部の非線形なパルス伝搬の話なのですが、
これだけでなく、偏微分方程式も出てきて難しいんですよね。

たとえば、自己相似性(self-similarity)とかいうものを使って、
自由度(?)を減らして、漸近解を求めたりするようなことが出てきます。
このあたりも理解したいですね。

symmetry reduction とかいう方法らしいのですが、
リー群などが関係してくるみたいで・・・さっぱりです^^;

まあ、それは理解できないかもしれませんが、
とにかく、微分方程式もきちんと勉強してみようという思いを込めて、
まずは、カテゴリーを作ってみました(笑)
ジャンル:[学問・文化・芸術]  テーマ:[数学
数学>微分方程式 | コメント(0) | 2014/03/06 19:21

一階偏微分方程式

仕事で、簡単な一階偏微分方程式を解かなくてはいけなくて、
特性曲線を使って解く方法を復習しています。

簡単な例。
\[
u_t + cu_x = 0
\]
を満たす u(x,t) を求める。

(x, t) 平面上に
\[
x = x(t)
\]
で表される特性曲線Γなるものを考えて、
その曲線Γ上での u の変化を考える。

曲線Γ上に限ると、t を dt だけ変化させると、
x の変化 dx も自動的に次のように決まる。
\[
dx = \frac{dx}{dt}dt
\]

その時の u の変化 du は、
\[
du = u_x dx + u_t dt
= \left[ u_x \frac{dx}{dt} + u_t \right] dt
\]
ここで、特性曲線Γを
\[
\frac{dx}{dt} = c
\]
を満たすように決めると、
元の偏微分方程式より、[・・・] = 0 になって、
\[
du= 0
\]
つまり、u は、特性曲線Γ上では、定数となる。

特性曲線の式は、
\[
\frac{dx}{dt} = c
\]
から、
\[
x - ct = \xi ({\rm const.})
\]
と表されるので、u(x,t) の一般解は、
\[
u(x,t) = f(\xi) = f(x-ct)
\]
となる。

ここで、f (ξ)は、任意の関数。

もし、係数 c が c(u) のようにuに依存した関数になっていた場合、
すなわち、
\[
u_t + c(u) u_x = 0
\]
といったような場合でも、まったく同じ論理が使えて、
結局、特性曲線上では u が一定になるので、
c(u)も定数になって、
特性曲線は、
\[
x - c(u) t = \xi ({\rm const.})
\]
という直線になり、一般解は、
\[
u(x,t) = f(x - c(u)t)
\]
と表せる。
ただし、陰関数表示になっているので、
陽的な表示が欲しい場合は、ここから、u について解かなければならない。
数学>微分方程式 | コメント(0) | 2012/05/15 00:08
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