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媒質中のマックスウェル方程式 (1) へヴィサイド・ローレンツ

媒質(誘電体・磁性体)中におけるマックスウェル方程式について、まとめておきます。

真空中の時と同様、単位系に依存しない形にまとめられないだろうかと思ったのですが、
難しいようですね。
やむをえないので、主に使おうと思っている HL と MKSA の2つの単位系で
個別に導きたいと思います。

まずは、HL単位系の場合。

真空中のマックスウェル方程式は以下の通り。

\[
\nabla\cdot{\bf E} = \rho
\tag{1.1}
\]\[
\nabla\times{\bf B} - \frac{1}{c} \frac{\partial {\bf E}}{\partial t} = \frac{\bf j}{c}
\tag{1.2}
\]\[
\nabla\cdot{\bf B} = 0
\tag{1.3}
\]\[
\nabla\times{\bf E} + \frac{1}{c} \frac{\partial{\bf B}}{\partial t} = 0
\tag{1.4}
\]


まず、(1.1)は、誘電体中では電荷に分極電荷 $\rho' = -\nabla\cdot {\bf P}$ が追加されるため、
\[
\nabla \cdot {\bf E} = \rho - \nabla \cdot {\bf P}
\tag{2}
\]に置き換わる。ここで、\[
{\bf D} = {\bf E} + {\bf P}
\tag{3}
\]と定義すると、(2)式は\[
\nabla \cdot {\bf D} = \rho
\tag{4}
\]と書き換えられる。

次に、(1.2)は磁性体中では電流に磁化電流 ${\bf j}' = c\nabla \times {\bf M}$ が追加されるため、
\[
\nabla\times{\bf B} - \frac{1}{c} \frac{\partial {\bf E}}{\partial t} = \frac{\bf j}{c} + \nabla\times{\bf M}
\tag{5}
\]に変わる。ここで、\[
{\bf H} = {\bf B} - {\bf M}
\tag{6}
\]を定義すると、\[
\nabla\times{\bf H} - \frac{1}{c} \frac{\partial {\bf E}}{\partial t} = \frac{\bf j}{c}
\tag{7}
\]と書き換えられる。
さらに、$\nabla\cdot\nabla\times{\bf H} = 0$ と電荷保存則 $\nabla\cdot {\bf j} + \partial \rho/\partial t = 0$ が両立するために、\[
\nabla\times{\bf H} - \frac{1}{c} \frac{\partial {\bf D}}{\partial t} = \frac{\bf j}{c}
\tag{8}
\]と書き換えられる。
残りの2式は電荷も電流もからまないので、変更なし。

以上をまとめると、マックスウェル方程式は、以下のようになる。

\[
\nabla \cdot {\bf D} = \rho
\tag{9.1}
\]\[
\nabla\times{\bf H} - \frac{1}{c} \frac{\partial {\bf D}}{\partial t} = \frac{\bf j}{c}
\tag{9.2}
\]\[
\nabla\cdot{\bf B} = 0
\tag{9.3}
\]\[
\nabla\times{\bf E} + \frac{1}{c} \frac{\partial{\bf B}}{\partial t} = 0
\tag{9.4}
\]

新たに導入された物理量の定義は以下の通り。

\[
{\bf D} = {\bf E} + {\bf P}
\tag{10.1}
\]\[
{\bf H} = {\bf B} - {\bf M}
\tag{10.2}
\]



参考文献
[1] J.D.Jackson "Classical Electrodynamics"
ジャンル:[学問・文化・芸術]  テーマ:[自然科学
物理>電磁気学 | コメント(0) | 2016/08/24 22:00

球面調和関数 (6)

前回の微分方程式の証明はやや煩雑でしたので、
もっとシンプルに直接、球面調和関数の定義を代入して成り立つことを確認しておきます。
微分方程式があらかじめ分かっている場合はこちらの方が分かりやすいですね。

微分方程式

球面調和関数は以下の微分方程式の解である。\[
\left[\frac{1}{\sin\theta} \frac{\partial}{\partial \theta} \left( \sin\theta \frac{\partial}{\partial \theta} \right)
+ \frac{1}{\sin^2\theta} \frac{\partial^2}{\partial \phi^2} + l(l+1)
\right] Y_{lm}(\theta,\phi) = 0
\tag{1}
\]

(証明)
球面調和関数の定義から\[
Y_{lm} = P_l^m(\cos\theta) e^{im\phi}
\tag{2}
\]この微分方程式は線形なので、係数は意味がないため、省略した。
以下、添字も l m しか登場しないので、省略する。
微分方程式 (1) の左辺に代入すると、\[
e^{im\phi} \left[\frac{1}{\sin\theta} \frac{d}{d\theta} \left( \sin\theta \frac{d}{d\theta} \right)
- \frac{m^2}{\sin^2\theta} + l(l+1)
\right] P(\cos\theta)
\tag{3}
\]となる。θに関する微分は、\[
\frac{dP}{d\theta} = -\sin\theta P'(\cos\theta)
\]となるから、\[
\frac{1}{\sin\theta} \frac{d}{d\theta} \left( \sin\theta \frac{dP}{d\theta} \right)
= \sin^2\theta P'' - 2\cos\theta P'
\]となり、(3) は、\[
e^{im\phi} \left[\sin^2\theta P'' - 2\cos\theta P'
- \frac{m^2}{\sin^2\theta}P + l(l+1)P
\right]
\]と計算できる。

ここで、ルジャンドルの陪関数は微分方程式\[
\left[ (1-x^2) \frac{d^2}{dx^2} - 2x \frac{d}{dx} + l(l+1) - \frac{m^2}{1-x^2} \right] P_l^m(x) = 0
\tag{4}
\]を満たすから、これに $x=\cos\theta$ を代入すると、\[
\left[ \sin^2\theta P'' - 2\cos\theta P' + l(l+1)P - \frac{m^2}{\sin^2\theta}P \right] = 0
\tag{5}
\]となる。
これより、(3) はゼロとなることが分かり、微分方程式 (1) は成立する。
(証明終了)
ジャンル:[学問・文化・芸術]  テーマ:[数学
球面調和関数 | コメント(0) | 2016/05/11 22:25

球面調和関数 (5)

微分方程式

球面調和関数は以下の微分方程式の解である。\[
\left[\frac{1}{\sin\theta} \frac{\partial}{\partial \theta} \left( \sin\theta \frac{\partial}{\partial \theta} \right)
+ \frac{1}{\sin^2\theta} \frac{\partial^2}{\partial \phi^2} + l(l+1)
\right] Y_{lm}(\theta,\phi) = 0
\tag{1}
\]

(証明)前記事の漸化式
\[
e^{i\phi} (\partial_\theta + i\cot\theta \partial_\phi) Y_{lm} = \sqrt{(l-m)(l+m+1)} Y_{l,m+1}
\tag{2}
\]\[
e^{-i\phi} (-\partial_\theta + i\cot\theta \partial_\phi) Y_{lm} = \sqrt{(l+m)(l-m+1)} Y_{l,m-1}
\tag{3}
\]を用いる。(3) のインデックス m を1増やすと、\[
e^{-i\phi} (-\partial_\theta + i\cot\theta \partial_\phi) Y_{l,m+1} = \sqrt{(l+m+1)(l-m)} Y_{l,m}
\tag{4}
\](2) より $Y_{l,m+1}$ について解いた式を代入すると、\[
e^{-i\phi} (-\partial_\theta + i\cot\theta \partial_\phi) e^{i\phi} (\partial_\theta + i\cot\theta \partial_\phi) Y_{lm}
= (l-m)(l+m+1) Y_{lm}
\tag{5}
\]左辺を整理する。\[ \left[
-\partial_\theta (\partial_\theta + i\cot\theta \partial_\phi)
+ i\cot\theta e^{-i\phi}\partial_\phi e^{i\phi} (\partial_\theta + i\cot\theta \partial_\phi)
\right] Y_{lm}
\tag{6}
\]このうち第一項は、\[
-\partial^2_\theta + \frac{i}{\sin^2\theta} \partial_\phi - i\cot\theta \partial_\theta \partial_\phi
\]第二項の $\partial_\phi$ 以降は、\[
ie^{i\phi} (\partial_\theta + i\cot\theta \partial_\phi)
+ e^{i\phi} \partial_\theta \partial_\phi
+ ie^{i\phi} \cot\theta \partial_\phi^2
\]となり、(6) は\[ \left[
-\partial^2_\theta + \frac{i}{\sin^2\theta} \partial_\phi - i\cot\theta \partial_\theta \partial_\phi \\
+i\cot\theta \left\{
i (\partial_\theta + i\cot\theta \partial_\phi)
+ \partial_\theta \partial_\phi
+ i\cot\theta \partial_\phi^2
\right\}
\right] Y_{lm}
\]となり、さらに、\[
\left[ -\partial^2_\theta - \cot\theta \partial_\theta + i\partial_\phi - \cot^2\theta \partial^2_\phi \right] Y_{lm}
\tag{7}
\]と変形できる。
ここで、恒等式\[
\partial^2_\theta + \cot\theta \partial_\theta = \frac{1}{\sin\theta} \partial_\theta (\sin\theta \partial_\theta)
\tag{8}
\]を利用すると、(7) は\[
\left[ -\frac{1}{\sin\theta}(\sin\theta \partial_\theta) + i\partial_\phi - \cot^2\theta \partial^2_\phi \right] Y_{lm}
\tag{9}
\]と整理される。

一方、(5) の右辺を展開すると、\[
[l(l+1) - m^2 - m] Y_lm
\tag{10}
\]となり、球面調和関数の性質\[
\partial_\phi Y_{lm} = im Y_{lm}
\tag{11}
\]を利用すると、\[
\left[ l(l+1) + \partial^2_\phi + i\partial_\phi \right] Y_{lm}
\tag{12}
\]とできるので、結局、(5) は、\[
\left[ -\frac{1}{\sin\theta}(\sin\theta \partial_\theta) + i\partial_\phi - \cot^2\theta \partial^2_\phi \right] Y_{lm}
= \left[ l(l+1) + \partial^2_\phi + i\partial_\phi \right] Y_{lm}
\tag{13}
\]となる。
これを整理すると、(1) を得る。
(証明終了)

なんだか、ごちゃごちゃしてますね。
もうちょっとすっきりと証明できそうな気もするのですが・・・

参考文献
[1] 小野寺嘉孝「物理のための応用数学」
球面調和関数 | コメント(0) | 2016/05/11 22:24

球面調和関数 (4)

漸化式

\[
e^{i\phi} (\partial_\theta + i\cot\theta \partial_\phi) Y_{lm} = \sqrt{(l-m)(l+m+1)} Y_{l,m+1}
\tag{1}
\]\[
e^{-i\phi} (-\partial_\theta + i\cot\theta \partial_\phi) Y_{lm} = \sqrt{(l+m)(l-m+1)} Y_{l,m-1}
\tag{2}
\]

(証明)ルジャンドルの陪関数の漸化式
\[
\left[ (1- x^2)\frac{d}{dx} + mx \right] P_l^m(x) = \sqrt{1-x^2} P_l^{m+1}(x)
\tag{3}
\]\[
\left[ (1- x^2)\frac{d}{dx} - mx \right] P_l^m(x) = -(l+m)(l-m+1) \sqrt{1-x^2} P_l^{m-1}(x)
\tag{4}
\]を用いる。
簡単のために、$Y_{lm}$ の係数を $a_{lm}$ と書くことにして、
(1) の左辺の微分を計算していく。\[
\partial_\theta Y_{lm} = - a_{lm} {P_l^m}'(\cos\theta) \sin\theta e^{im\phi}
\]\[
\partial_\phi Y_{lm} = im a_{lm} P_l^m(\cos\theta) e^{im\phi}
\](1) の左辺は、\[
- a_{lm} [ \sin\theta {P_l^m}'(\cos\theta) + m\cot\theta P_l^m(\cos\theta) ] e^{i(m+1)\phi}
\tag{5}
\]となる。一方、(3) において、$x=\cos\theta (0\leq\theta\leq\pi)$ とおくと、\[
\sin^2\theta {P_l^m}'(\cos\theta) + m\cos\theta P_l^m(\cos\theta) = \sin\theta P_l^{m+1}(\cos\theta)
\]であるから、(5) は、\[
- a_{lm} P_l^{m+1}(\cos\theta) e^{i(m+1)\phi}
\]となり、\[
a_{lm} = -\sqrt{(l-m)(l+m+1)} a_{l,m+1}
\]であるから、(1) の右辺に帰する。

同様に、(2) の左辺は、\[
a_{lm} [ \sin\theta {P_l^m}'(\cos\theta) - m\cot\theta P_l^m(\cos\theta) ] e^{i(m-1)\phi}
\tag{6}
\]となり、(4) からは\[
\sin^2\theta {P_l^m}'(\cos\theta) - m\cos\theta P_l^m(\cos\theta) = -(l+m)(l-m+1)\sin\theta P_l^{m-1}(\cos\theta)
\]が得られるから、(6) は\[
-a_{lm} (l+m)(l-m+1) P_l^{m-1}(\cos\theta) e^{i(m-1)\phi}
\]となる。ここで、\[
a_{lm} = -\frac{a_{l,m-1}}{\sqrt{(l+m)(l-m+1)}}
\]であるから、(2) の右辺を得る。
(証明終了)

参考文献
[1] 小野寺嘉孝「物理のための応用数学」
ジャンル:[学問・文化・芸術]  テーマ:[数学
球面調和関数 | コメント(0) | 2016/04/24 23:12

球面調和関数 (3)

直交性

全立体角にわたる積分において直交性を示す。\[
\int Y_{lm}(\theta,\phi)^* Y_{l'm'}(\theta,\phi) d\Omega \\
= \int_0^\pi \sin\theta d\theta \int_0^{2\pi} d\phi Y_{lm}(\theta,\phi)^* Y_{l'm'}(\theta,\phi) = \delta_{ll'}\delta_{mm'}
\tag{1}
\]

(証明)まず、Φに依存する因子は、$e^{im\phi}$ のみであるから、
Φについての積分の因子だけを取り出すと、\[
\int_0^{2\pi} e^{i(m'-m)\phi} d\phi = 2\pi\delta_{mm'}
\tag{2}
\]となり、$m\neq m'$ の時は、l の値によらずに、全体の積分も 0 になる。
以降、m = m' の時のみを考えればよい。
θに関しては、$\cos\theta = x$ とおくと、\[
\int_0^\pi \sin\theta d\theta = \int_{-1}^1 dx
\tag{3}
\]と置き換えられる。ここで、ルジャンドル陪関数の l に対する直交性\[
\int_{-1}^1 P_l^m(x) P_{l'}^m(x) dx = \frac{2}{2l+1} \frac{(l+m)!}{(l-m)!} \delta_{l l'}
\tag{4}
\]を用いると、m=m' の時の積分の値は $\delta_{ll'}$ となる。
$m \neq m'$ の場合と合わせて、(1) となる。
(証明終了)

参考文献
[1] 小野寺嘉孝「物理のための応用数学」
ジャンル:[学問・文化・芸術]  テーマ:[数学
球面調和関数 | コメント(0) | 2016/04/21 00:00
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